251130 - 미적

25수능 미적분 30번 문항이다

먼저 조건들을 정리해보자

가(1) 에서 sinb = 0이므로 b는 정수pi임을 알 수 있고
가(2) 에서 sink = k인 경우는 k=0인 경우만 존재하므로
2api +b = 0이다
문제에 제시된 a의 범위에 의해 b는 -4pi에서 -2pi 사이이고
b는 정수pi이므로 가능한 a와 b의 경우의 수는 다음과 같다

이제 나 조건을 이용해보자

f'(0)과 f'(t)를 정리하면 다음과 같다

f'(t) 식에 집중해보자
뒤에 곱해진 a+cost는 항상 양수이므로( a >= 1, cost >= -1)
cos(a(t-2pi)+sint)만 f'(t)의 부호에 영향을 준다

또 cos의 속함수 a(t-2pi)+sint는 복잡해 보이지만 그리기 쉬운 함수다

먼저 아래와 같이 속함수를 일차함수와 sin함수로 나눠 그려준 뒤

sint = 0인 지점과 일차함수의 지점을 더하면 일차함수의 값과 같음을 이용해 점을 찍는다

그리고 이 점들을 sin그래프의 모양과 비슷하게 이어주면 그래프가 완성된다

극점의 유무를 알 수 없지 않나? 할수 있지만

다음과 같이 sin함수에서 기울기가 가장 작은 부분과
일차함수의 기울기를 더해보면 a-1이 나온다

이는 최종 함수에서 가장 기울기가 작은 부분이 되고 
문제 조건에서 a>=1이므로 극점은 존재하지 않는 증가함수가 된다

일단 이 함수를 보면 t= 2pi에서 값이 0이다
이를 f'(t)에 집어넣어보면 a+1이 된다

나 조건을 만족하는 양수 t의 최소값은 4pi이므로 f'(2pi)는 f'(0)과 달라야한다
그러려면 cosb가 1이 아니어야 하므로
위에서 구했던 경우의 수 중 b = -3pi, a = 3/2인 경우의 수만 남게 된다

이제 다시 아까 구했던 증가함수로 돌아와보자
편의상 g(t) = a(t-2pi)+sint라고 두고,
문제의 답을 구하기 위해 (0,4pi)를 살펴보면
g(t)의 범위가 (-3pi,3pi)인 것을 알 수 있다

이 범위 내에서 f'(t) = 0 이고 f(t)가 극대를 가지는 지점을 찾아야한다
f'(t)의 부호는 cosg(t)의 영향만 받으므로
뒷부분을 무시하고 그래프를 그려보면 다음과 같다

위와 같이 세 점에서 극대를 갖으므로 n = 3이고
α1을 찾기 위해 가장 작은 값을 찾아보면 -3/2 pi 이다
이제 g(t) = -3/2 pi 를 하면 α1값을 구할 수 있다

α1 = pi 이다

마지막 계산을 하면
3pi + 9/2 pi = 15/2 pi 이므로
답은 17이다