181130 - 가형

 

 

수능 킬러문제의 정점을 찍은 181130-가형 을 풀어보자

 

 

먼저 f(x)를 그래프로 표현하면 다음과 같다

 

그리고 g(t)를 부분적분해주면

 

이 식의 의미를 생각해 보면

sin함수와 f'(x)의 곱을 적분한 것인데

f'(x)는 다음과 같으므로

간단한 경우를 생각하면 g(t)의 의미는 다음과 같다

이제 t가 k부터 k+8까지 움직이며 함수를 적분한다고 생각해보자

t가 정수일 때 g(t)는 최댓값 또는 최솟값을 가진다 (k, k+8예외)

t가 정수가 아닐 땐 최대 와 최소 사이의 값을 가질 것이다

 

t가 k, k+8일 때 예외인 이유는 적분구간이 k에서 k+8까지이기 때문이다

따라서 g(k),g(k+8)의 값은 다른 값의 1/2이다

 

따라서 g(t)의 극대 극소 위치는 다음과 같이 구할 수 있고

m과 k값을 결정할 수 있다

이제 마지막 계산만 하면 된다

삼각함수 한 덩어리의 넓이는 2인데 주기가 pi에서 1로 압축되어서

한 덩어리의 넓이는 2/pi 임을 이용하자

답은 21이다