260322 - 공통

26학년도(2025년 시행) 3모 22번이다

먼저 함수 f가 미분가능인데 x>=0 부분이 절댓값으로 이루어져 있다
이러면 |f(x)| 와 |2x^2 - 8| 의 미분 불가능 지점이 서로 겹치면서 미분 가능으로 상쇄될 것을 기대해 볼 수 있다

|f(x)| 와 |2x^2 - 8| 의 x=2 지점에서 미분계수를 구해보면 다음과 같다

미분가능이 되려면 f'(2)의 값은 8또는-8이 되어야 한다
또한 첨점이 되어야 하므로 f(2) = 0 임을 알 수 있다

이제 x=0 부분을 살펴보자

위와 같이 f(0) = 4 라는 결론이 나온다

또한 0+ 부근에서는 f(x) > 0 이므로 
g(x) = f(x) + 2x^2 - 8 로 둘 수 있고
g'(0)을 구해보면

위와 같이 f'(0) = 0 이 된다

g(x) 가 나머지 지점에서도 미분 가능이어야 하므로 |f(x)|의 개형은 다음과 같아야 한다

또한 f(0)=4 이므로 f'(2)는 -8이어야 하고 a<0 임을 알 수 있다

이제 나머지 계산을 하면

답은 154 이다