260329 - 미적분

26학년도(2025시행) 3모 미적분 29번이다

먼저 문제 조건을 이용해 그림에서 알 수 있는 것들을 표시해 보자
목표는 Sn을 n에 관한 식으로 나타내야 한다

AC 와 CD가 원의 반지름임을 이용해 삼각형 ACD가 이등변삼각형임을 알아내고 α로 각을 표시한다

또 원주각을 이용해 2α 도 표시한다

우리가 모르는 각 β 와 각ACB 도 표시해준다

원주각과 sin 법칙을 이용해 다음과 같이 관계식을 구한다

여기서 배각공식을 이용해 sin β 의 값을 sin α로 나타낼 수 있다

이제 AB = 2 임을 이용한 관계식도 찾아보자
마찬가지로 원주각을 이용한다

sin 법칙과 배각공식을 이용해 sin α의 값을 n으로 나타낼 수 있다

이제 지금까지 구한 관계식을 활용해 다음과 같이 Sn을 정리한다

마지막으로 구해야 할 값을 구해보자

분모 분자에 합차공식을 이용하여 식을 곱해준 뒤 정리하고
n을 무한대로 보내면 다음과 같다

따라서 답은 13이다