260622 - 공통

2026학년도 6월 모의고사 22번 문제이다

오랜만에 22번에 지수로그함수 문제가 나왔다
22번치고는 쉬운 느낌이지만 정답률 10% 이내의 문제이고
특이한 발상이 필요하다

먼저 교점A를 구하기 위해 방정식을 풀어야 한다

x = log2(k/2) 를 식에 대입하면
점 A는 ( log2(k/2) , k ) 임을 알 수 있다
즉 ( log2(k)-1 , k )이다

여기서 특이한 발상이 필요하다
점 A는 y = 2^x + k/2 위의 점이기도 하지만
y = 2^(x+1) 위의 점이기도 하다

이 식이 왜 나왔냐면,

점 B는 y = 2^(x-2) - 3 위의 점인데
이 곡선을 다음과 같이 이동하면 y = 2^(x+1) 이 나오기 때문이다

이렇게 하면 기울기가 -1인 평행이동을 하게 되고
기울기가 -1인 직선과 두 곡선의 교점 사이 거리는 3√2 가 된다

A, B는 기울기가 -1인 직선 위에 존재하고,
두 곡선에 각각 존재하므로
A,B 사이의 거리고 3√2 이다

삼각형 AOB의 넓이가 16이므로
A를 지나는 기울기가 -1인 직선과 O 사이의 거리를 구할 수 있다

이를 통해 직선의 식을 세우고
문제에서 구하는 값을 알아낼 수 있다

답은 38이다


한가지 풀이가 더 있는데,
점 A가  y = 2^(x+1) 위에 존재한다는 발상을 하지 못해도 답을 구할 수 있다

먼저 다음과 같이 점 B의 좌표를 잡는다

점 B의 좌표를  y = 2^(x-2) - 3 에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다

p-3 = t라고 두고 다음과 같이 식이 성립하는지 판단해보자

부호 조건을 통해 판단해보면 t = 0 일때만 식이 성립하는 것을 알 수 있다
이를 통해 두 점 사이의 거리는 3√2 라는 것을 파악할 수 있다

이후 과정은 첫번째 풀이와 같다